Nun muss aus \(f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot {{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}\) die Funktion \(\varphi_{\mu,\sigma} (x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{{e}^{-\frac{1}{2}{{\left( \frac{x-\mu }{\sigma } \right)}^{2}}}}\) gewonnen werden: 

Dazu müssen die Schritte der 2.Idee rückgängig gemacht werden.

Im ersten Schritt verkleinert man die Säulenhöhe bzw. die Funktionswerte von \(f(z)\) durch Division durch \(\sigma\). Anschaulich sieht \(\frac{f(z)}{\sigma}=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\cdot {{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}\) folgendermaßen aus:

Im zweiten Schritt muss die Stauchung der Säulenbreite durch \(\sigma\) und die Verschiebung der Säulen nach links um \(\mu\) rückgängig gemacht werden. Hierfür werden die Argumente z von \(f(z)\) durch \(\frac{x-\mu }{\sigma }\) ersetzt, so dass \[\varphi_{\mu,\sigma} (x)=\frac{f(\frac{x-\mu }{\sigma})}{\sigma}=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{{e}^{-\frac{1}{2}{{\left( \frac{x-\mu }{\sigma } \right)}^{2}}}}\]Anschaulich sehen diese beiden Schritte folgendermaßen aus:

Eine Leistung, die u.a. C.F. Gauß ohne Computerhilfe, Wikipedia und überdies für alle \(p\in \left[ 0;1 \right]\) erbracht hat!