Da die Summe aller Säulen der Wahrscheinlichkeitsverteilung P insgesamt 100% ergeben muss, muss auch die Fläche unter dem Graphen der Funktion \(f\) 100% betragen. Gesucht ist also ein Faktor a von \(f(z)=a\cdot {{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}\), so dass gilt: \[\int\limits_{-\infty }^{\infty }{f(z)}dz= \int\limits_{-\infty }^{\infty }{a\cdot {{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}dz=a\cdot \int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}dz=1}}\] Könnte man \(\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}dz}\) berechnen, dann wäre \(a=\frac{1}{\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}dz}}\) gefunden. Los geht’s:

Wegen der y-Achsensymmetrie von f(z) gilt \[\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}dz}=2\cdot \int\limits_{0}^{\infty }{{{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}dz}\] Statt des gesuchten Integrals (was sich nicht ohne trickreiche Manipulation direkt berechnen lässt) berechnet man zunächst sein Quadrat und kann dann mit der Faktorregel Termumformungen so durchführen, dass sich die Substitutionsregel anwenden lässt:

\[{{\left( \int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}dz} \right)}^{2}}\]

\[=4\cdot \left( \int\limits_{0}^{\infty }{{{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}dz} \right)\left( \int\limits_{0}^{\infty }{{{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}dz} \right) \]

\[=4\cdot \left( \int\limits_{0}^{\infty }{{{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}dz} \right)\cdot \left( \int\limits_{0}^{\infty }{{{e}^{-\frac{1}{2}{{y}^{2}}}}dy} \right) \]

\[=4\cdot \left( \int\limits_{0}^{\infty }{\left( \int\limits_{0}^{\infty }{{{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}dz} \right)\cdot {{e}^{-\frac{1}{2}{{y}^{2}}}}dy} \right) \]

\[=4\cdot \left( \int\limits_{0}^{\infty }{\left( \int\limits_{0}^{\infty }{{{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}\cdot {{e}^{-\frac{1}{2}{{y}^{2}}}}dz} \right)dy} \right) \]

\[=4\cdot \left( \int\limits_{0}^{\infty }{\left( \int\limits_{0}^{\infty }{{{e}^{-\frac{1}{2}\left( {{z}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}}dz} \right)dy} \right) \]

Dieses kompliziertere Integral lässt sich interessanter Weise mit der Substitutionsregel berechnen:

Das innere Integral bezieht sich auf die Variable z. Da der Exponent von e quadratisch ist, fehlt ein linearer von z abhängiger Faktor zur e-Funktion. Dies kann man erreichen, indem man y durch die von x abhängige proportionale Funktion \(y(x)=z\cdot x\) mit \(y'(x)=z\) substituiert. Durch die proportionale Substitution bleiben zudem die Integrationsgrenzen 0 und \(\infty\) für z erhalten:\[4\cdot \left( \int\limits_{0}^{\infty }{\left( \int\limits_{0}^{\infty }{{{e}^{-\frac{1}{2}\left( {{z}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}}}dz \right)dy} \right) \]\[=4\cdot \left( \int\limits_{0}^{\infty }{\left( \int\limits_{0}^{\infty }{z\cdot {{e}^{-\frac{1}{2}\left( {{z}^{2}}+{{z}^{2}}{{x}^{2}} \right)}}}dz \right)dx} \right) \]\[=4\cdot \left( \int\limits_{0}^{\infty }{\left( \int\limits_{0}^{\infty }{z\cdot {{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}\left( 1+{{x}^{2}} \right)}}}dz \right)dx} \right) \]

Für die innere Funktion \(z\cdot {{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}\left( 1+{{x}^{2}} \right)}}\) lässt sich eine Stammfunktion angeben bzw. finden. Denn nach z differenziert folgt \({{\left( -\frac{1}{1+{{x}^{2}}}\cdot {{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}\left( 1+{{x}^{2}} \right)}} \right)}^{\prime }}=z\cdot {{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}\left( 1+{{x}^{2}} \right)}}\), also gilt\[4\cdot \left( \int\limits_{0}^{\infty }{\left( \int\limits_{0}^{\infty }{z\cdot {{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}\left( 1+{{x}^{2}} \right)}}dz} \right)dx} \right) \]\[=4\cdot \int\limits_{0}^{\infty }{\left[ -\frac{1}{1+{{x}^{2}}}\cdot {{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}\left( 1+{{x}^{2}} \right)}} \right]}_{0}^{\infty }dx \]\[=4\cdot \int\limits_{0}^{\infty }{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}}dx \]\[=4\cdot \left[ \arctan x \right]_{0}^{\infty } \]\[=4\cdot \left( \frac{\pi }{2}-0 \right) \]\[=2\cdot \pi \]

Demzufolge gilt \({{\left( \int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}dz} \right)}^{2}}=2\cdot \pi \) und somit \(\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}}dz=\sqrt{2\cdot \pi }\). Die Gleichung unserer gesuchten Funktion lautet also\[f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot {{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}\]Das dies auch mit unseren Vorüberlegungen gut zusammenpasst, zeigt die folgende Grafik: