Jetzt wird es technisch:

1. Schritt:

Ein Funktionsterm für f(z) leiten wir mit der „Zeilen Formel“ der 1.Idee her:\[\left(\begin{matrix}n\\k+1\\\end{matrix}\right)=\frac{n-k}{k+1}\left(\begin{matrix}n\\k\\\end{matrix}\right)\]Multipliziert man beide Seiten mit \({\left( \frac{1}{2}\right)}^{n}\), folgt\[\left( \begin{matrix}n\\k+1\\\end{matrix} \right){{\left( \frac{1}{2}\right)}^{n}}=\frac{n-k}{k+1}\left( \begin{matrix}n\\k\\\end{matrix}\right){{\left(\frac{1}{2} \right)}^{n}}\,\,\,\,\,\]Das kann man kürzer schreiben als\[\,{{P}_{n,\,\frac{1}{2}}}(k+1)=\frac{n-k}{k+1}{{P}_{n,\,\frac{1}{2}}}(k)\]Multipliziert man beide Seiten mit \(\sigma\) und ersetzt k durch die 2.Idee gilt\[\sigma \cdot \,{{P}_{n,\,\frac{1}{2}}}(\mu +z\cdot \sigma +1)=\frac{n-k}{k+1}\sigma \cdot \,{{P}_{n,\,\frac{1}{2}}}(\mu +z\cdot \sigma)\]Jetzt kann man auf der rechten Seite erstmals f(z) nutzen:\[\sigma \cdot \,{{P}_{n,\,\frac{1}{2}}}(\mu +z\cdot \sigma+1)=\frac{n-k}{k+1}f(z)\]Für \(p=\frac{1}{2}\) gilt \(\sigma =\frac{\sqrt{n}}{2}\), also gilt für die linke Seite\[\mu +z\cdot \sigma +1=\mu+z\cdot \sigma +\frac{\sigma}{\sigma}=\mu +\left( z+\frac{1}{\sigma} \right)\cdot \sigma =\mu +\left( z+\frac{2}{\sqrt{n}} \right)\cdot \sigma\]und unsere "Zeilen-Formel" vereinfacht sich zu\[ f\left( z+\frac{2}{\sqrt{n}} \right)=\frac{n-k}{k+1}f(z)\]

2.Schritt:

Von beiden Seiten dieser Gleichung wird nun f(z) abgezogen, damit die linke Seite zu einem Differenzenquotient von \(f\) umgeformt werden kann:\[ f\left( z+\frac{2}{\sqrt{n}} \right)-f(z)=\frac{n-k}{k+1}f(z)-f(z)\]\[\Leftrightarrow f\left( z+\frac{2}{\sqrt{n}} \right)-f(z)=\left( \frac{n-k}{k+1}-1 \right)f(z)\]

\[\Leftrightarrow \,\,\frac{\,f\left( z+\frac{2}{\sqrt{n}} \right)-f(z)}{z+\frac{2}{\sqrt{n}}-z}=\frac{\left( \frac{n-2k-1}{k+1} \right)f(z)}{z+\frac{2}{\sqrt{n}}-z}\]

\[\Leftrightarrow \,\,\frac{\,f\left( z+\frac{2}{\sqrt{n}} \right)-f(z)}{\frac{2}{\sqrt{n}}}=\frac{\sqrt{n}}{2}\left( \frac{n-2k-1}{k+1} \right)f(z)\]

Um den Grenzwert für \(n\to\infty\) auf beiden Gleichungsseiten bilden zu können, muss der Faktor von \(f(z)\) auf der rechten Gleichungsseite noch umgeformt werden.

Mit \(k=\frac{n+z\cdot \sqrt{n}}{2}\) und \(k+1=\frac{n}{2}+\left( z+\frac{2}{\sqrt{n}} \right)\frac{\sqrt{n}}{2}\) folgt\[\frac{\sqrt{n}}{2}\left( \frac{n-2k-1}{k+1} \right)=\frac{\sqrt{n}}{2}\left( \frac{n-2\frac{n+z\cdot \sqrt{n}}{2}-1}{\frac{n}{2}+\left( z+\frac{2}{\sqrt{n}} \right)\frac{\sqrt{n}}{2}} \right)=\frac{-z\cdot \sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+\left( z+\frac{2}{\sqrt{n}} \right)}=\frac{-z-\frac{1}{\sqrt{n}}}{1+\frac{z}{\sqrt{n}}+\frac{2}{n}}\] Also gilt \[\frac{\,f\left( z+\frac{2}{\sqrt{n}}\right)-f(z)}{\frac{2}{\sqrt{n}}}=\left( \frac{-z-\frac{1}{\sqrt{n}}}{1+\frac{z}{\sqrt{n}}+\frac{2}{n}} \right)f(z)\]Für \(n\to\infty\) wird der Differenzenquotient auf der linken Seite dieser Gleichung zur Ableitung von f und die rechte Seite der Gleichung vereinfacht sich zu \[f'(z)=\left(\frac{-z-0}{1+0+0} \right)f(z)\] Also gilt \[f'(z)=-z\cdot f(z)\] \(f\) ist also eine Funktion, deren Ableitung wieder die Funktion f selbst ist, jedoch multipliziert mit der „inneren“ Ableitung –z. Die e–Funktion erfüllt diese Bedingung und die Ableitung von \(-\frac{1}{2}{{z}^{2}}\) ist –z. Also lautet die Gleichung der gesuchten Funktion z.B. \(f(z)={{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}\) Es könnte jedoch ebenso gut eine Funktion mit der Gleichung \(f(z)=0.5\cdot {{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}\) oder \(f(z)=0.1\cdot {{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}\) eine Lösung sein (Faktorregel!). Zumindest steht nun fest, dass unsere gesuchte Funktion f die Gestalt\[f(z)=a\cdot {{e}^{-\frac{1}{2}{{z}^{2}}}}\]für ein noch festzulegende Zahl a hat. 

Anschaulich liegt also folgende Situation vor:

Welcher Faktor a notwendig ist wird in Teil 2 geklärt.